Espirales de Ulam, la belleza de los números primos.

Siempre he creído que hay un fantasma en Google que de alguna extraña forma, me lleva a no abandonar mi interés por los números primos. Está presencia por llamarla de alguna manera, recientemente me condujo a las espirales de Ulam, la importancia que tienen estás, radica en que permite apreciar una patrón de los números primos a apilarse en diagonales, muchas de las cuales son más marcadas (densas) que otras, veamos un ejemplo sencillo para explicar de qué va esto:

los números que están encerrados en un círculo, representan números primos, no importa si deseamos cambiar el sentido de la matriz, es decir iniciar hacia la izquierda, arriba o abajo:

la imagen demuestra que no importa el sentido de la espiral, los números se alinean de la misma forma, por lo que decidí adaptar el código de Juan Pablo Escalona, para generar matrices de caracol para usarlo en Python:

una vez adaptado y funcionando lo combiné con mi generador de números primos, un poco de PIL para pintar los números, aunque quizá en algún otro momento liberé ambos scripts, por ahora no lo haré, pero les dejo una de captura de pantalla de los resultados...

hice un par de ejercicios, en un primer momento construí una matriz de 999 x 999, luego fui más ambicioso y construí la matriz de 3161, ambas son igualmente hermosas y nos regalan una fascinante vista de estos escurridizos números, mientras analizaba la imagen obtenida haciendo zoom sobre ella, algo llamo mi atención, quizá esa cosa que tienen nuestros cerebros de encontrar formas, pero me pareció algo semejante a una ciudad, oculta en un cuadrante lejano al origen, por lo que me he propuesto para otro momento averiguar que números son específicamente, pero eso ya es otra historia y quizá sólo es un capricho mío...

Los números primos gemelos merecen un capítulo aparte pues son aun más escurridizos que los números primos, estos tienen la singularidad de estar separados entre sí a penas por dos números, y, aunque la mayoría de los matemáticos sostienen hasta ahora que la primer pareja de primos está formada por 3 y 5, yo difiero de esto, pues en realidad todos los primos gemelos encajan en el patrón [G1 mod 3 = 2], [G2 mod 3 = 1], además de pertenecer a la forma [(G1 + G2) mod 4 = 0], por lo que es un error desde mi humilde perspectiva creer que 3 y 5 sean gemelos, ya que no cumplen estás reglas, por lo que deberían establecer la primer pareja de gemelos como 5 y 7; como sea para apreciar mejor la distribución de los primos gemelos, también hice un pequeño experimento pintando de negro todos los números primos en las matrices y de rojo los primos gemelos, es evidente que estos aparecerán en líneas verticales y horizontales ya que no viajan solos (por decirlo de alguna manera jeje).

Mi postulado respecto a los primos gemelos y la forma que tienen referente al módulo de 3 se puede apreciar también en las imágenes además de comprobar que la distancia mínima entre una pareja de gemelos y la siguiente es de mínimo 6 unidades y siempre existe una distancia en múltiplos de 6 entre estás, ejemplo: [(5,7), (11,13), (17,19), (29,31)] distancias [6,6,12].

Como parte de mis investigaciones sobre los números primos he observado algo que llamo familias de números primos gemelos, es decir bloques enteros en los que los números primos gemelos son consecutivos entre sí, entre uno  y  diez millones existen sólo 439 de estás familias por lo que si ponen atención en una de las imágenes en dos colores podrán apreciar este fenómeno como una pequeña línea roja vertical u horizontal, las más comunes son aquellas que poseen seis miembros, es decir tres pares de primos gemelos consecutivos, la primera de estás familias es [179, 181, 191, 193, 197, 199], de estás hay 401 familias, 35 con 8 miembros y a penas 3 con 10 miembros, pero como esto es casi como buscar una aguja en un pajar (XD!!), decidí agregar una espiral más en donde pinté las familias de 6 miembros de color rojo, las de 8 de color verde y las de 10 de color azul...

Finalmente dejo aquí abajo las imágenes de las que tanto he estado hablando, si alguien quiere publicarlas en otro sitio, agradecería me incluyeran en los créditos, también pueden dejar comentarios respecto a su opinión de lo que les recuerda, yo he estado pensando cosas tan disparatadas como códigos QR o The Game of Life, hasta vistas aéreas de ciudades antiguas, los exploradores de los antiguos astronautas dicen que sí!!

SaluDoS!!!

La matriz de 999 x 999 en negro

La matriz de 999 x 999 con primos en rojo

Por si quieren descargar las otras espirales, las pongo aquí porque no me deja subir imágenes tan grandes jeje.